紙飛行機を折りながらルートになじむ②

【紙飛行機を折ってルートになじむ】の２回目です。

まずは【問題】の答えから。

　図１　　

【問題】

（１）図１の線分ＤＨの長さを求めてください。

（２）折り目の角１つ分は何度でしょうか。

（答え）＊線分の用語は省略して式の形で書きます。

（１）ＤＣ＝√２、ＨＣ＝ＡＣ＝１だから、ＤＨ＝ＤＣ－ＨＣ＝√２－１である。　

（２）直角９０°を半分に折ると（例えば∠ＨＡＣ）、９０°÷２＝４５°で、

折り目一つ（例えば∠ＧＡＣ）はまたそれを半分に折っているから、

４５°÷２＝２２．５°　　　すべて等しく２２．５°である。

 
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今回は、線分ＧＣ、線分ＨＧの長さを求めてみます。

（中３・平方根の範囲までで）

少し説明が続きますので、図だけ見てもらうのでも十分です。

図２　　

ＡＧで折った図３を考えて、点Ｃと線分ＡＨが重なる点をＣ２とする。

∠ＡＣ２Ｇは９０°である。

図３　

四角形ＡＣＧＣ２（青色）を考えると

四角形の内角の和が３６０°であることから

∠ＣＧＣ２＝３６０－（４５＋９０＋９０）＝１３５°

と求められる。（図４）

　図４

次に、△Ｃ２ＧＨ（赤色）を考えると

∠Ｃ２ＧＨ＝１８０－１３５＝４５°である。

三角形の内角の和は１８０°だから

∠ＧＨＣ２＝１８０－（９０＋４５）＝４５°である。

すなわち△Ｃ２ＧＨは

Ｃ２Ｇ＝Ｃ２Ｈである直角二等辺三角形であることがわかる。　（図５）

図５

ここで、線分Ｃ２Ｈの長さを求めると、

ＡＨ－ＡＣ２＝ＡＨ－ＡＣ＝√２－１である　

（＊線分ＡＣ２と線分ＡＣが重なる）から

Ｃ２Ｇ＝√２－１である。（図６）　

図６

よって、線分Ｃ２Ｇと重なる

線分ＧＣの長さも√２－１であることがわかる。（図７）

図７

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おつかれさまでした。

説明（証明）するとなると長くなりますが

感じをつかんでもらうので十分です。

次の問題は計算の復習なので、解いてみてください。

【問題】線分ＨＧの長さを求めてください。

（答え）

ＨＧ＝ＤＣ－（ＤＨ＋ＧＣ）

　　＝√２－｛（√２－１）＋（√２－１）｝

　　＝√２－（２√２－２）　　＊｛｝を計算

　　＝√２－２√２＋２　　　　＊（）をはずす　（ の前が－なので＋－逆にする

　　＝２－√２　　　　　　　 ＊２＞√２なので大－小の順で書いた

                                   　　　　　   －√２＋２でもよい

（別解）直角二等辺三角形の斜辺は底辺を√２倍すればよいから

ＨＧ＝Ｃ２Ｇ×√２＝（√２－１）×√２＝√２×√２－１×√２＝２－√２　

図８

さて、ここからさらに深めることもできるので

もう１回このテーマをやりたいと思います。